Равновесие тела при наличии трения скольжения. Глава iii

Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т.п.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, то есть вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.

Между катк­ом и плоскостью, на которой он покоится, возникают силы трения, если приложить к оси катка силу (рис. 7.5), стремящуюся его двигать по плоскости.

Рассмотрим случай, когда сила параллельна горизонтальной плоскости. Из опыта известно, что при изменении модуля силы от нуля до неко­торого предельного значения каток остается в покое, т.е. силы, дейст­вующие на каток, уравновешиваются. Кроме активных сил (веса и си­лы ), к катку, равновесие которого рассматривается, приложена реакция плоскости. Из условия равновесия трех непараллельных сил следует, что реакция плоскости должна проходить через центр катка О , так как две другие силы приложены к этой точке.

Следовательно, точка приложения реакции С должна быть смещена на некоторое расстояние от вертикали, проходящей через центр коле­са, иначе реакция не будет иметь горизонтальной составляющей, необхо­димой для удовлетворения условий равновесия. Разложим реакцию плос­кости на две составляющие: нормальную составляющую и касатель­ную реакцию , являющуюся силой трения (рис. 7.6).

В предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил (, ) с момен­том (где r – радиус катка) и вторая пара сил ( , ), удерживаю­щая каток в равновесии.

Момент пары, называемой моментом трения качения , определяется формулой:

,

из которой следует, что для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения качения была меньше максимальной силы трения скольжения:

где f – коэффициент трения скольжения.

Таким образом, чистое качение (без скольжения) будет, если .

Трение качения возникает из-за деформации катка и плоскости, вследствие чего соприкосновение между катком и плоскостью происходит по некоторой поверхности, смещенной от нижней точки катка в сторону возможного движения.

Если сила не направлена по горизонтали, то ее следует разложить на две составляющие, направленные по горизонтали и вертикали. Верти­кальную составляющую следует сложить с силой , и мы снова приходим к схеме действия сил, изображенных на рис. 7.6.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующий качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению и равной ему нормальной реакции : .

Коэффициент пропорциональности d называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода . Коэффициент d имеет размерность длины.

3. Коэффициент трения качения d зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения .

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Для того, чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия

.

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

Решение : Составим уравнения равновесия в проекциях на оси координат:

; ;

Т.к. , выразим из второго уравнения нормальную реакцию поверхности: , тогда . Подставим полученное выражение в первое уравнение:

Подставив известные численные значения, получим:

Т.е. величина проекции силы тяжести превышает величину проекции предельной силы трения, следовательно, тело не находится в равновесии и скользит.

Для нахождения величины силы трения (рис. 7.8) подставим численные значения в ранее полученное выражение для этой силы:

кН.

Ответ: тело скользит; кН.

Самостоятельно решите следующие тестовые задания:

Тело весом G = 10 (Н) удерживается в равновесии на шероховатой наклонной плоскости (рис. 7.13) с углом наклона α=30° (коэффициент трения скольжения f =0,2) силой (Н).

Минимальное значение силы S , удерживающее тело от перемещения вниз по наклонной плоскости, равно …

Рис. 7.13

Варианты ответов: 1) 6,7 2) 3,3 3) 7,6 4) 9,6

Тело весом G = 10 (Н) удерживается в равновесии на шероховатой наклонной плоскости (рис. 7.14) с углом наклона α=45° (коэффициент трения скольжения f =0,2) силой (Н).

Если два тела I и II взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А , то всегда реакцию , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I , можно разложить на две составляющие: , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А и , лежащую в касательной плоскости. Составляющая называется нормальной реакцией , сила называется силой трения – она препятствует скольжению тела I по телу II . В соответствии с аксиомой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I действует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной плоскости, называется силой нормального давления . Как было сказано выше, сила трения , если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты, и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя.

Для выяснения основных свойств сил трения проведем опыт по схеме, представленной на рис. К телу В , находящемуся на неподвижной плите D , присоединена перекинутая через блок С нить, свободный конец которой снабжен опорной площадкой А . Если площадку А постепенно нагружать, то с увеличением ее общего веса будет возрастать натяжение нити S , которое стремится сдвинуть тело вправо. Однако пока общая нагрузка не слишком велика, сила трения будет удерживать тело В в покое. На рис. изображены действующие на тело В силы, причем через обозначена сила тяжести, а через – нормальная реакция плиты D .

Если нагрузка недостаточна для нарушения покоя, справедливы следующие уравнения равновесия:

Отсюда следует, что и . Таким образом, пока тело находится в покое, сила трения остается равной силе натяжения нити . Обозначим через силу трения в критический момент процесса нагружения, когда тело В теряет равновесие и начинает скользить по плите D . Следовательно, если тело находится в равновесии, то

Максимальная сила трения зависит от свойств материалов, из которых сделаны тела, их состояния (например, от характера обработки поверхности), а также от величины нормального давления . Как показывает опыт, максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т.е. имеет место равенство

Это соотношение носит название закона Амонтона – Кулона .

Безразмерный коэффициент называется коэффициентом трения скольжения . Как следует из опыта, его величина в широких пределах не зависит от площади соприкасающихся поверхностей , но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверхностей. Значения коэффициентов трения устанавливаются опытным путем и их можно найти в справочных таблицах.

Неравенство (6.3) можно теперь записать в виде

Случай строгого равенства в (6.5) отвечает максимальному значению силы трения. Это значит, что силу трения можно вычислять по формуле только в тех случаях, когда заранее известно, что имеет место критический случай. Во всех же других случаях силу трения следует определять из уравнений равновесия.

Задача 6.1. Тяжелая плита АВ веса , длины l опирается на идеально гладкую стену ОВ и шероховатый пол ОА . Определить, при каких углах наклона плиты возможно ее равновесие, если коэффициент трения плиты и пола равен . Составим уравнение равновесия:

,

,

.

Кроме того, в соответствии с условием (6.5) должно быть

Решая уравнения, получим

, .

Следовательно,

Последнее неравенство и содержит решение задачи. Критическое значение угла определяется из уравнения

Определим теперь критическое значение угла с учетом трения плиту о стенку, если соответствующий коэффициент трения также равен .

Относящаяся к этому случаю силовая схема изображена на рис. В общем случае система является статически неопределимой, так как содержит четыре неизвестные реакции, а мы располагаем только тремя уравнениями равновесия (при заданном угле нельзя найти силы трения и нормальные давления). Однако в критическом состоянии силы трения пропорциональны соответствующим нормальным давлениям, и это позволяет решить задачу. Для этого состояния имеем два уравнения для сил трения

и три уравнения равновесия

, , .

Подчеркнем, что последние четыре выражения относятся только к критическому состоянию, но если

то задача становится статически неопределимой (для ее решения необходимо привлечь какие-либо соображения, выходящие за рамки наших представлений о твердых телах).

Задача 6.2. На шероховатой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтальной плоскостью, находится тело весом . Тело удерживается на плоскости тросом АВ , весом которого можно пренебречь. Определить силу трения Т между телом и плоскостью и минимальное натяжение троса S при двух значениях коэффициента трения: и .

Решение. На тело действуют четыре силы: активная сила тяжести , сила трения , нормальная составляющая реакции плоскости и реакция троса . Составим уравнения равновесия тела:

,

,

Отсюда найдем:

,

или, учитывая условия задачи,

Для первого случая будем иметь: . При отсутствии троса получим . Так как при этом условие не нарушается, то это означает, что при тело будет находиться в равновесии за счет одной силы трения .

Пусть теперь . Тогда должно выполняться условие . При отсутствии троса это неравенство находится в противоречии с первым уравнением . Это означает, что при отсутствии троса тело начало бы скользить вниз. Поэтому при сила трения достигает своего максимального значения , а натяжение троса будет .

Задача 6.3. К однородной прямоугольной призме веса , находящейся на горизонтальной поверхности, прислонена под углом однородная балка веса и длины . Коэффициент трения между балкой и плоскостью равен , а между призмой и плоскостью . Пренебрегая силами трения между балкой и призмой и поперечными размерами балки, определить:

Решение. Расчленим систему и изобразим все силы(активные и реакции связей), действующие на призму и балку. На призму действуют сила тяжести , сила давления плоскости балки на призму, равнодействующая сил нормального давления плоскости , приложенная в некоторой точке D , и сила трения . На балку действуют сила тяжести , сила давления призмы на балку, нормальная составляющая реакции плоскости и сила трения . Конечно, модули сил и равны между собой (аксиома 4).

,

,

,

Из уравнений находим

Внеся значения и в неравенство, получим условия равновесия балки:

Составим теперь условия равновесия призмы:

,

,

,

Из уравнений находим

, , .

Число нам неизвестно, но его можно найти из равенства , или

;

Так как точка приложения силы не может находиться левее точки , то , или

что дает нам еще одно условие равновесия:

Это неравенство равносильно требованию, чтобы под действием силы призма не опрокинулась вокруг ребра (его можно получить из условия, чтобы момент силы относительно точки не превосходил по модулю момента силы относительно той же точки).

Потребуем теперь, чтобы призма не скользила по плоскости, т.е. чтобы выполнялось неравенство

Имеем: , . Подставляя это в написанное выше неравенство, получаем

Таким образом, вся система будет находиться в покое, если угол удовлетворяет трем условиям:

Если будет нарушено только первое из этих неравенств:

призма останется в покое, а балка начнет двигаться.

Если будет нарушено только второе условие:

точка балки останется в покое, а призма начнет опрокидываться вокруг ребра .

Наконец, если будет нарушено только третье условие (6.6):

точка баки снова останется в покое, но призма начнет скользить по плоскости влево.

Рассмотрим тело, находящееся на шероховатой поверхности. Будем считать, что в результате действия активных сил и сил реакции тело находится в предельном равновесии. На рис. показана предельная реакция и ее составляющие и

(в положении, изображенном на этом рисунке, активные силы стремятся сдвинуть тело вправо, максимальная сила трения направлена влево). Угол между предельной реакцией и нормалью к поверхности называется углом трения. Найдем этот угол. Из рис. имеем

или, пользуясь выражением (6.4)

Из этой формулы видно, что вместо коэффициента трения можно задать угол трения (в справочных таблицах приводятся обе величины).

В зависимости от действия активных сил направление предельной реакции может меняться. Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции образует коническую поверхность – конус трения . Если коэффициент трения во всех направлениях одинаков, то согласно формуле (6.7) конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения зависит от направления возможного движения, конус трения не будет круговым.

Рассмотрим теперь случай, когда активные силы, действующие на тело, приводятся к одной равнодействующей , составляющей угол с нормалью к поверхности. Такая сила оказывает двоякое действие: во-первых, ее нормальная составляющая определяет нормальную составляющую реакции поверхности и, следовательно, предельную силу трения , а во-вторых, ее касательная составляющая стремится эту силу преодолеть. Если увеличивать модуль силы , то пропорционально будут возрастать обе составляющие. Отсюда можно заключить, что состояние покоя или движения тела не зависит от модуля силы и определяется только углом – чем меньше этот угол, тем меньше тенденция к нарушению равновесия.

Для аналитического решения задачи составим уравнения равновесия тела:

,

,

Из уравнений найдем , и, подставляя их в неравенство, получим

или, учитывая, (6.7), . Следовательно, при равновесии тела

Это означает, что если равнодействующая активных сил находится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела: для того, чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил находилась вне конуса трения.

Задача 6.4. Найти условие, определяющее размер самотормозящегося механизма, изображенного на рис. Необходимо, чтобы приложенная к узлу С сила не могла вызвать скольжения ползунов А и В по вертикальным направляющим. Коэффициент трения , расстояние между направляющими м.

Решение. Сила вызывает сжатие наклонных стержней, и последние передают на ползуны силы давления под некоторым углом к горизонтальной плоскости. Для того чтобы скольжение отсутствовало, ось каждого стержня должна располагаться внутри соответствующего конуса трения. А это имеет место при выполнении условия

Но , поэтому м.

Рассмотрим теперь трение гибких тел . Пусть трос охватывает неподвижный круглый цилиндр. Требуется определить силу натяжения троса , достаточную для уравновешивания силы , приложенной ко второму концу троса, если между тросом и цилиндром имеется трение.

Опыт показывает, что благодаря трению сила может быть во много раз меньше, чем сила . Эта задача будет статически определена лишь в том случае (представляющем наибольший интерес), когда рассматривается критическое состояние и силы трения пропорциональны нормальным давлениям. Речь идет о критическом состоянии, в котором сила уже способна вызвать скольжение троса по неподвижному цилиндру (по ходу часовой стрелки).

Нормальное давление и сила трения непрерывно распределены по всей длине охвата . Обозначим через и значения этих сил, отнесенных к единице длины троса. Эти силы, конечно, являются функциями полярного угла , определяющего положение элемента, т.е. , . Натяжение троса в любой его точке на цилиндре также является функцией , т.е. . .Найти угол охвата судна может выдержать матрос, прикладывая силу

Если к твердому телу, покоящемуся на шероховатой горизонтальной поверхности, приложить горизонтальную силу F , то действие этой силы вызовет появление силы сцепления F сц = - F , представляющей собой силу противодействия плоскости смещению тела. Благодаря силе трения тело остается в покое при изменении модуля силы F от нуля до некоторого значения F max .

Модуль силы сцепления также изменяется от 0 до F сц max в момент начала движения. Модуль максимальной силы сцепления пропорционален нормальному давлению N тела на плоскость, т.е. F сц max = f сц N .

Коэффициент пропорциональности f сц является безразмерной величиной и называется коэффициентом сцепления (трения), который зависит от материала и физического состояния соприкасающихся тел и определяется экспериментально.

Сила тренияпокоя – сила, возникающая на границе соприкасающихся тел при отсутствии их относительного движения .

Сила трения покоя направлена по касательной к поверхности соприкасающихся тел (рис. 10) в сторону, противоположную силе F, и равна ей по величине: Fтр = - F.

При увеличении модуля силы F изгиб зацепившихся зазубрин будет возрастать и, в конце концов, они начнут ломаться и тело придёт в движение.

Сила трения скольжения – это сила, возникающая на границе соприкасающихся тел при их относительном движении .

Вектор силы трения скольжения направлен противоположно вектору скорости движения тела относительно поверхности, по которой оно скользит.

Тело, скользящее по твёрдой поверхности, прижимается к ней силой тяжести Р, направленной по нормали. В результате этого поверхность прогибается и появляется сила упругости N (сила нормального давления или реакция опоры), которая компенсирует прижимающую силу Р (N = - P).

Чем больше сила N, тем глубже сцепление зазубрин и тем труднее их сломать. Опыт показывает, что модуль силы трения скольжения пропорционален силе нормального давления:

Безразмерный коэффициент μ называется коэффициентом трения скольжения. Он зависит от материалов соприкасающихся поверхностей и степени их шлифовки. Например, при передвижении на лыжах коэффициент трения зависит от качества смазки (современные дорогостоящие смазки), поверхности лыжни (мягкая, сыпучая, уплотнённая, оледенелая) тем или иным состоянием снега в зависимости от температуры и влажности воздуха и др. Большое количество переменных факторов делает сам коэффициент непостоянным. Если коэффициент трения лежит в пределах 0,045 – 0, 055 скольжение считается хорошим.

Трение скольжения. Коэффициент трения. Угол и косинус трения.

Коэффициент трения устанавливает пропорциональность между силой трения и силой нормального давления, прижимающей тело к опоре. Коэффициент трения является совокупной характеристикой пары материалов которые соприкасаются и не зависит от площади соприкосновения тел.

Виды трения.

Трение покоя проявляется в том случае, если тело находившееся в состоянии покоя, приводится в движение. Коэффициент трения покоя обозначается μ 0 .

Трение скольжения проявляется при наличии движения тела, и оно значительно меньше трения покоя.

μ ск < μ 0

Трение качения проявляется в том случае, когда тело катится по опоре, и оно значительно меньше трения скольжения.

μ кач << μ ск

Сила трения качения зависит от радиуса катящегося предмета. В типичных случаях (при расчетах трения качения колес поезда или автомобиля), когда радиус колеса известен и постоянен, его учитывают непосредственно в коэффициенте трения качения μ кач .

Определение коэффициента трения

Коэффициент трения можно определить экспериментально. Для этого помещают тело на наклонную плоскость, и определяют угол наклона при котором:

Коэффициент трения покоя

тело начинает двигаться
(коэффициент трения покоя μ 0 )

Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наиболь­шего значения . При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющимиN и , где. Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо величинуи, решая полу­ченные уравнения, определяют искомые величины.

Пример 1.

Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии (рис.28). Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a .

К телу в точке С , лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила и в точкеА , лежащей на расстоянии от основания, горизонтальная сила. Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакциии силе трения. Линия действия силынеизвестна. Расстояние от точкиС до линии действия силы обозначимx ().

Рис.28

Составим три уравнения равновесия:

Согласно закону Кулона , т.е.. (1)

Так как , то(2)

Проанализируем полученные результаты:

Будем увеличивать силу .

Если , то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, условие (1) превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к скольжению тела по поверхности.

Если , то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины, условие (2) превратится в равенство. Величинаx будет равна h . Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет).

Пример 2.

На какое максимальное рас­стояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис.29)? Если вес чело­века – Р , коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной – , между лестни­цей и полом –.

Рис.29

Рассматриваем равновесие лестницы с че­ловеком. Показываем силу , нормальные реак­цииии добавляем силы трения:и. Полагаем, что чело­век находится на расстоянии, при большем значении которого начнётся движение лестницы. Состав­ляем уравнения равновесия.

Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получим

Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая , получим, после преобразований,и

Рис.30

Заметим, что если равнодействующая всех активных сил (всех кроме реакций) направлена под углом(рис.30), то нормальная реакция, а сила трения. Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие. или. И так как, то . Значит угол должен быть больше угла. Следовательно, если силадействует внутри угла или конуса трения (), то как бы не была ве­лика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется усло­вием заклинивания, самоторможения.

Мы рассмотрели скольжение твёрдых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской по­верхности. Например, нежелательное проскальзывание в ременной передаче ремня по шкиву, или троса, каната, на­мотанного на неподвижный цилиндр.

Пример 3.

Пусть имеется нить, перекинутая че­рез неподвижную цилиндрическую поверх­ность (рис.31). За счёт сил трения натяже­ние левого и правого концов этой нити бу­дут различными.

Рис.31 Рис.32

Предположим, что нормальная реак­ция и сила трения распределяются равно­мерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесие участка нити дли­ной . (рис.32). На левом конце этого участка натяжение, на пра­вом. Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси:

Так как угол - малая величина, то полагаемС учётом этого из уравнений находими, так как, имеемилиИнтегрируя, получим. Или

Этот результат называется формулой Эйлера.

Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и , а ко­эффициент трения, то отношение натяжений. А, обернув цилиндр один раз (),то есть можно удержать груз на другом конце нити силой почти в три раза меньшей веса тела.

Изучение равновесия тел с учетом трения скольжения можно свести к рассмотрению предельного равновесия, которое имеет место, когда сила трения равна

При аналитическом решении реакцию шероховатой связи изображают двумя ее составляющими N и

Затем составляют обычные уравнения равновесия и присоединяют к ним равенство Из полученной таким путем системы уравнений и определяют искомые величины.

Если в задаче требуется определить условия равновесия при всех значениях, которые может иметь сила трения, т. е. при , то ее тоже можно решить, рассмотрев предельное равновесие и уменьшая затем в полученном результате коэффициент трения до нуля

Отметим еще, что если в задаче надо определить значение силы трения F, когда равновесие не является предельным и то, как уже отмечалось в § 23, эту силу F следует считать неизвестной величиной и находить из соответствующих уравнений (см. вторую часть задачи 29, а также задачи 151, 152, § 130).

При геометрическом решении реакцию шероховатой связи удобнее изображать одной силой R, которая в предельном положении равновесия отклонена от нормали к поверхности на угол

Задача 29. Груз весом лежит на горизонтальной плоскости (рис. 77). Определить, какую силу Q, направленную под углом к этой плоскости, надо приложить к грузу, чтобы сдвинуть его с места, если статический коэффициент трения груза о плоскость

Решение. Рассмотрим предельное равновесие груза. Тогда на него действуют силы Составляя условия равновесия в проекциях на оси , получим:

Из последнего уравнения . Тогда

Подставляя это значение в первое уравнение и решая его, найдем окончательно

Если к грузу приложить меньшую силу, например силу Н, то тогда сдвигающее усилие будет ; максимальная же сила трения, которая может в этом случае развиться, будет . Следовательно, груз останется в покое. При этом удерживающая его в равновесии сила трения F определится из уравнения равновесия в проекции на ось и будет равна сдвигающей силе , а не силе

Обращаем внимание на то, что при всех расчетах следует определять по формуле находя N из условий равновесия. Ошибка, которую часто допускают в задачах, аналогичных решенной, состоит в том, что при подсчетах считают в то время как сила давления на плоскость здесь не равна весу Груза Р.

Задача 30. Определить, при каких значениях угла наклона а груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, если его коэффициент трения о плоскость равен

Решение. Найдем сначала предельное положение равновесия, при котором угол а равен . В этом положении (рис. 78) на груз действуют сила тяжести V, нормальная реакция N и предельная сила трения Строя из перечисленных сил замкнутый треугольник, находим из него, что Но сдругой стороны, Следовательно,

Если в полученном равенстве уменьшать то значение будет тоже уменьшаться. Отсюда заключаем, что равновесие возможно и при Окончательно все значения угла а, при которых груз будет в равновесии, определятся неравенством

Полученный в задаче результат, выражаемый равенством (а), можно использовать для экспериментального определения коэффициента трення, находя угол из опыта.

Заметим еще, что так как где угол трения, то, следовательно, т. е. наибольший угол а, при котором груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, равен углу трения.

Задача 31. Изогнутый под прямым углом брус опирается своей вертикальной частью о выступы А и В, расстояние между которыми (по вертикали) h (рис. 79, а). Пренебрегая весом бруса, найти, при какой ширине d брус с лежащим на его горизонтальной части грузом будет находиться в равновесии при любом положении груза. Коэффициент трення бруса о направляющие равен

Решение. Обозначим вес груза через Р, а его расстояние от вертикальной части бруса через I. Рассмотрим предельное равновесие бруса, при котором его ширина Тогда на брус действуют силы Р, N, F, N, F, где - предельные силы трения. Составляя условия равновесия (29) и беря моменты относительно центра А, получаем:

где Из двух первых уравнений находим:

Подставляя эти значения в третье уравнение и сокращая на N, получим

Если в этом равенстве уменьшать нуля, то его правая часть будет расти до бесконечности. Следовательно, равновесие возможно при любом значении . В свою очередь имеет наибольшее значение, когда Значит брус будет в равновесии при любом положении груза (при 10), если будет выполняться неравенство Чем меньше трение, тем d должно быть больше. При отсутствии трения равновесие невозможно, так как в этом случае получается

Приведем еще геометрическое решение задачи.

При таком решении вместо нормальных реакций и сил трения изображаем в точках А и В полные реакции которые в предельном положении отклонены от нормалей на угол трения (рис. 79, б). Тогда на брус будут действовать три силы RA, RB, Р. При равновесии линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке, т. е. в точке К, где пересекаются силы RA и RB. Отсюда получаем очевидное (см. рис. 79, б) равенство или так как . В результате находим для то же значение, что и при аналитическом решении.

Задача дает пример самотормозящегося устройства, нередко применяемого на практике.

Задача 32. Пренебрегая весом лестницы АВ (рис. 80), найти, при каких значениях угла а, человек может подняться по лестнице до ее конца В, если угол трения лестницы о пол и о стену равен

Решение. Рассмотрим предельное положение равновесия лестницы и применим для решения геометрический метод. В предельном положении на лестницу действуют реакции пола и степы, отклоненные от нормалей к этим плоскостям на угол трепия Линии действия реакций пересекаются в точке К. Следовательно, при равновесии третья действующая на лестницу сила Р (числеь-но равная весу человека) также должна пройти через точку К? Поэтому в положении, показанном на чертеже, выше точки D человек подняться не может. Чтобы человек мог подняться до точки В, линии действия сил RA и RB должны пересечься где-нибудь на прямой ВО, что возможно лишь тогда, когда сила RA будет направлена вдоль АВ, т. е. когда угол

Следовательно, человек может подняться по лестнице до ее конца тогда, она образует со стеной угол, не превышающий угла трения лестницы о пол. Трение о стену при этом роли не играет, т. е. стена может быть гладкой.