Безмоментная теория оболочек

Безмоментная теория оболочек представляет собой упрощенный вариант общей теории, в котором пренебрегают влиянием изгибающих и крутящих моментов, а также поперечных сил на напряженно-деформированное состояние.

Для того чтобы существовало безмоментное напряженное состояние, необходимы следующие условия.

• 1. Оболочка должна иметь форму плавно изменяющейся непрерывной поверхности с постоянной или плавно меняющейся толщиной h. Резкое изменение указанных величин создает разницу в деформациях и вызывает изгиб. В местах резкого изменения геометрии оболочки (скачка) величины перемещений, определяемых по безмоментной теории, терпят разрыв.
• 2. Нагрузка на оболочку должна быть плавной и непрерывной. Безмоментная оболочка не может работать на сосредоточенную силу, перпендикулярную ее поверхности.
• 3. Закрепление краев оболочки должно быть таким, чтобы ее край мог свободно перемещаться по нормали. Углы поворота и нормальные перемещения на краях оболочки не должны быть стеснены.
• 4. Силы, приложенные к краю оболочки, должны лежать в касательной плоскости.

Наиболее выгодным для работы оболочки является безмоментное состояние. К нему и стремятся, придавая оболочке соответствующую форму и закрепляя ее надлежащим образом. Безмоментная теория – это аппарат, который в одних случаях дает строгое описание, в других – достаточно хорошее приближенное описание напряженно-деформированного состояния оболочек. В ряде случаев безмоментная теория неприменима вовсе.

Уравнения безмоментной теории получим как частный случай уравнений равновесия (7.1) общей моментной теории при условии равенства нулю моментов М и, М г, Н:

Расчет оболочек вращения по безмоментной теории

Рассмотрим оболочку вращения с произвольным меридианом (рис. 7.17), который, вращаясь вокруг оси вращения, формирует срединную поверхность оболочки вращения.

Рис. 7.17.

Примем за параметр и угол между нормалью к меридиану и осью вращения Oz , за параметр v – центральный угол вращения точки С вокруг оси Oz, отсчитываемый от оси Ох в сторону оси Оу. Принятая система криволинейных координат и, v будет координатной системой в линиях главных кривизн.

Согласно рис. 7.17 имеем: , , т.е.

Подставляем значения в уравнения равновесия безмоментной теории (7.4):

(7.5)

Далее будем рассматривать осесимметричную задачу, которая возможна при Y = 0. В этом случае в уравнениях исчезнут члены, содержащие производные по v, так как внутренние усилия будут зависеть только от параметра и. В этом случае система (7.5) упростится и примет вид

(7.6)

Из последнего уравнения находим значение нормального усилия:

подставив которое в первое уравнение системы (7.6), получаем

Интегрируя результат подстановки, находим

где постоянная интегрирования С находится из граничных условий. После вычислениянаходим по формуле (7.7).

Пример 7.1. Рассчитаем по безмоментной теории сферическую оболочку радиусом R, изображенную на рис. 7.18. Оболочка нагружена внешним давлением р.

Рис. 7.18.

Все условия существования безмомснтного напряженного состояния в этом случае выполняются, поэтому будем использовать формулы (7.7) и (7.8),в которые необходимо подставить X = О, Z = -р (см. рис. 7.17), :

Для определения константы С можно использовать следующее рассуждение: в вершине конуса, т.е. при , не может быть бесконечно большого значения нормальной силы, а чтобы выполнить это условие, необходимо положить С = 0. Таким образом, получаем . По формуле (7.7) определяем . Следовательно, любой фрагмент оболочки, границы которого совпадают с координатными линиями (меридианами и параллелями), будет сжат в обоих направлениях нормальными силами -pR/2 [Н/м]. Касательное усилие в осесимметричной задаче для оболочек вращения равно нулю (S = 0).

Расчет осесимметричных тонких оболочек вращения по моментной теории

Для осесимметричной оболочки вращения имеем

Кроме того, ранее было определено

Подставляем выписанные значения в уравнения равновесия (7.1).

Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геометрическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности .

Если срединная поверхность оболочки является плоскостью, то такую оболочку называют пластиной .

Геометрическая форма объектов, которые могут быть причислены к оболочкам или пластинам, чрезвычайно разнообразна: в машиностроении - это корпуса всевозможных машин; в гражданском и промышленном строительстве - покрытия и перекрытия, навесы, карнизы; в кораблестроении - корпуса судов, сухих и плавучих доков; в авиастроении - фюзеляжи и крылья самолетов; в подвижном составе железнодорожного транспорта, кузова вагонов, цистерны, несущие конструкции локомотивов; в атомной энергетике - защитная конструкция атомных станций, корпуса реакторов и т.д.

Если срединная поверхность оболочки образует поверхность вращения в форме цилиндра, то оболочку называют цилиндриче­ской .

К схеме осесимметричной цилиндрической оболочки сводится очень много инженерных конструкций, в том числе: котлов, баков, нефтепроводов, газопроводов, деталей машин и др.

Задача о расчете тонкостенных оболочек вращения наиболее просто решается в том случае, когда возможно принять, что напря­жения, возникающие в оболочке, постоянны по толщине и, следовательно, изгиб оболочки отсутствует.

Теория оболочек, построенная в этом предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

Если оболочка имеет резкий переход и жесткие защемления и, кроме того, нагружена сосредоточенной силой и моментами, то в местах крепежа оболочки, резких изменений формы, и в местах действия сосредоточенных сил и моментов возникают интенсивные напряжения, обусловленные изгибным эффектом . Учет изгиб­ных эффектов можно получить в рамках моментной теории оболочек.

Следует отметить, что чем меньше отношение толщины h обо­лочки к ее радиусу R , тем точнее выполняется предположение о постоянстве напряжений по толщине и тем более точнее выпол­няются расчеты по безмоментной теории.

Отметим, что оболочка считается тонкой , если h/R≤1/20.

Следовательно, при расчете на прочность тонких оболочек в зависимости от характера распределения внешних нагрузок, опорных закреплений, применяется или безмоментная или моментная теория. При этом предполагается равномерное распределение напряжений по продольным и поперечным сечениям оболочек (отсутствие в этих сечениях изгибающих, крутящих моментов и попе­речных сил).

При осесимметричной нагрузке отсутствуют также сдвигающие силы. Определение усилий по безмоментной теории производится достаточно точно на расстоянии, превышающем величину (3÷5) от мест скачкообразного изменения формы или площади сечения, жестких контурных закреплений или от места приложения внешних сосредоточенных сил и моментов. Вблизи указанных мест возникают дополнительные напряжения от изгибного эффекта.

В моментной и безмоментной теории тонких оболочек или, так называемой технической теории оболочек , состоящей в рез­ком различии их толщины и габаритных размеров, влечет за собой возможность упрощения теории путем некоторой схематизации действительной работы конструкций. Эта схематизация формируется в используемых гипотезах, аналогичных гипотезам в теории стержней, т.е. гипотезам плоских сечений и гипотезам “ненадавливания” слоев оболочки друг на друга.

Эти гипотезы позволяют свести трехмерную задачу механики сплошной среды к двумерной, подобно тому как в теории стержней трехмерная задача сведена к одномерной.

Оболочки, к которым применимы упомянутые выше гипотезы, называются тонкими, а те, к которым эти гипотезы не применимы, называются толстыми .

Граница между тонкими и толстыми оболочками условны и определяются отношением h/R≈1/20.

В тех случаях, когда h/R≥1/20 для получения приемлемых ре­зультатов по точности применяется аппарат механики сплошной среды, в частности теории упругости или пластичности в зависи­мости от постановки задачи .

Тонкостенной осесимметричной называется оболочка, имеющая форму тела вращения, толщина которой мала по сравнению с радиусами кривизны ее поверхности (рис.1).

При расчете тонкостенных оболочек все нагрузки, действующие на них, прикладывают к срединной поверхности оболочки.

К тонким оболочкам могут быть отнесены такие часто встречающиеся элементы конструкций как резервуары, цистерны, газовые баллоны, корпуса аппаратов химических агрегатов и др.

При расчете таких элементов конструкций используется безмоментная теория оболочек , основные положения которой заключаются в следующем:

1. нагрузки, действующие на поверхности оболочки, могут считаться перпендикулярными им и симметричными относительно оси вращения оболочки;

2. вследствие малой толщины оболочки сопротивление изгибу отсутствует (изгибающий момент не возникает);

Из оболочки, изображенной на рис.1 выделим двумя меридиональными плоскостями nn 1 n 2 и nn 3 n 2 , (т.е. плоскостями проходящими через ось симметрии оболочки), с углом dφ между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси симметрии оболочки BC и AD , элементABCD .

Радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD в меридиональной плоскости обозначим через R 2 , а радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану, обозначим через R 1 . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням AB и CD , соприкасающимся с меридиональными плоскостями, называются окружными напряжениями σ t . Нормальные напряжения, действующие по боковым граням BС и AD , называются меридиональными напряжениями σ s . Кроме напряжений σ s и σ t . на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления q, перпендикулярного поверхности ABCD .

Рис.1 Тонкостенная осесимметричная оболочка

Основным уравнением безмоментной теории оболочек является уравнение Лапласа , которое имеет следующий вид

где δ - толщина оболочки,

σ t - окружное напряжение,

σ s – меридиональное напряжение,

R 2 - радиусы кривизны O 2 A и O 2 B элемента ABCD ,

R 1 - радиусы кривизны O 1 B и O 1 C в плоскости, перпендикулярной меридиану.

Прежде чем перейдем к рассмотрению различных вариантов определения напряжений в оболочках остановимся на некоторых различиях, вызванных наличием газа или жидкости внутри оболочки.

В случае газового давления величина давления q постоянная во всех точках поверхности оболочки. Для резервуаров, наполненных жидкостью, значение q по их высоте переменно.

Для случая наполнения резервуара жидкостью необходимо учитывать, что если на какую-либо поверхность действует давление жидкости, то вертикальные составляющие сил давления равны весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью. Поэтому давление жидкости в различных сечениях оболочки будет различным, в отличие от давления газа.

Определим напряжения в сферических и цилиндрических оболочках, т.к. они наиболее часто используются в промышленности.

внутреннего избыточного давления происходит с образованием продольной трещины.

1.2. Балочная теория оболочек

1.2.1. Основные определения и допущения

Элементы планера летательного аппарата, как правило, представляют собой удлиненные тонкостенные оболочки цилиндрической или конической формы (фюзеляж, крыло и др.). Оболочка в этом случае чаще всего состоит из тонкой обшивки, подкрепленной продольным (лонжеронами, продольными стенками, стрингерами) и поперечным (нервюрами – в крыле и оперении, шпангоутами – в фюзеляже) силовым набором, который помогает оболочке воспринимать действующие на нее нагрузки. На рис. 1.5 схематично показаны основные силовые элементы крыла.

Верхний пояс лонжерона Стенка лонжерона

Рис. 1.5. Силовые элементы крыла

Воспользуемся данным выше определением срединной поверхности, т.е. поверхности, которая делит толщину обшивки пополам. Кривая, которая получается при пересечении срединной поверхности плоскостью, перпендикулярной продольной оси оболочки, называется к о н т у р о м п о п е р е ч н о г о с е ч е н и я.

Поперечное сечение оболочки может иметь контур (рис. 1.6):

− открытый;

− однозамкнутый;

− многозамкнутый.

а) открытый

б) однозамкнутый

в) многозамкнутый

Рис. 1.6. Виды контуров поперечных сечений оболочки

Рассматриваемые удлиненные тонкостенные оболочки воспринимают поперечные силы Q x , Q y , осевую силу N , изгибающие моменты M x , M y и крутящий момент M z (рис. 1.7), т.е. работают как стержни-балки. Поэтому теория, описывающая их работу, называется балочной. Данная теория справедлива для удлиненных оболочек регулярной конструкции, т.е. не имеющих резких перепадов жесткости по длине.

Рис. 1.7. Силовые факторы, действующие в поперечном сечении оболочки

Балочная теория оболочек основана на следующих допущениях и гипоте-

1. Контур поперечного сечения оболочки считается недеформируемым в своей плоскости. Это допущение основано на том, что реальные конструкции имеют, как правило, достаточно частый поперечный набор из нервюр или шпангоутов.

2. Относительные линейные деформации ε z вдоль продольной оси оболочки (оси z на рис. 1.7) в любом поперечном сечении оболочки распределяются по закону плоских сечений, т.е. не учитывается известная из дисциплины «Сопротивление материалов» д е п л а н а ц и я сечения. Для сечений, находящихся далеко от заделки, это считается допустимым.

3. Действующие на оболочку нагрузки в каждом поперечном сечении сводятся к следующим силовым факторам:

− осевой силе N ;

− поперечным силам Q x , Q y ;

− изгибающим моментам M x , M y ; − крутящему моменту M z .

4. Продольные подкрепляющие обшивку элементы (пояса лонжеронов, стрингеры) работают только на растяжение-сжатие, т.е. воспринимают только

нормальные напряжения σ z , которые вызваны действием изгибающих моментов

M x , M y и осевой силы N . При этом считается, что нормальные напряжения σ z равномерно распределены по сечению элемента.

5. Нормальные σ z и касательные τ напряжения по толщине обшивки распределены равномерно. Это допущение основано на том, что толщина обшивки мала по сравнению с размерами сечения, вследствие чего ее можно считать безмоментной оболочкой. Если толщина обшивки также мала по сравнению с размерами поперечных сечений продольных элементов, то можно ввести допущение о том, что обшивка вообще не работает на растяжение-сжатие от действия изгибающих моментов M x , M y и осевой силы N , т.е. в ней не возникают нор-

мальные напряжения σ z . В этом случае изгибающие моменты M x , M y и осевая сила N воспринимаются только продольными элементами, а обшивка работает только на сдвиг от действия поперечных сил Q x , Q y и крутящего момента M z ,

т.е. в ней возникают только касательные напряжения τ . Если же толщина обшивки значительна по сравнению с размерами поперечных сечений продольных элементов, то ее работой на растяжение-сжатие пренебрегать не следует. В этом случае обшивку можно привести к продольным элементам путем условной замены сечения оболочки системой сосредоточенных площадей, состоящих из площадей сечений продольных элементов с присоединенными площадями участков обшивки, расположенных между продольными элементами (рис. 1.8а). Но можно применить и другую расчетную схему, в которой наоборот площади поперечных сечений продольных элементов равномерно распределяются по контуру поперечного сечения оболочки (рис. 1.8б). В этом случае обшивка условно становится толще, что сказывается на величине нормальных напряже-

ний σ z , действующих в ней. При расчете же касательных напряжений τ , действующих в обшивке, необходимо учитывать только реальную толщину обшивки, без условного утолщения за счет продольных элементов.

Рис. 1.8. Виды расчетных схем тонкостенных подкрепленных оболочек

6. Напряжения в элементах подкрепленной тонкостенной оболочки определяются законом Гука, т.е. не выходят за предел пропорциональности.

7. Считается, что элементы оболочки не теряют устойчивости.

1.2.2. Определение нормальных напряжений

Редуцирование сечения по материалу

Если все элементы оболочки выполнены из одного материала с модулем упругости E , то нормальные напряжения σ z ввиду принятого выше допущения о

распределении относительных линейных деформаций ε z по закону плоских сечений вычисляются по формуле

σz =E εz .

Однако реальные конструкции часто имеют в своем составе элементы из разных материалов. При расчете таких оболочек все элементы обычно приводятся к одному материалу. Эту операцию приведения называют р е д у ц и р о - в а н и е м с е ч е н и я п о м а т е р и а л у.

Редуцирование производится следующим образом. Пусть в сечении оболочки имеется некий i -й элемент с модулем упругости E i , отличным от модуля упругости E , одинакового для всех остальных элементов. Произведем условную замену этого элемента фиктивным редуцированным элементом с модулем упругости E таким образом, чтобы усилия в действительном и в редуцирован-

где σ i ,σ i р – нормальные напряжения в действительном и в редуцированном

элементах соответственно;

F i , F i р – площади поперечных сечений действительного и редуцирован-

ного элементов соответственно.

Кроме того, должны быть равны относительные линейные деформации действительного и редуцированного элементов

	i р								σ i р
Введем р е д у к ц и о н н ы й	к о э ф ф и ц и е н т по материалу
		ϕi =
Тогда в соответствии с (1.23) можно записать
	ϕi =		σ i р

Отсюда, учитывая (1.22), получим формулу для определения площади редуцированного элемента

F i р =ϕ i F i.

Отметим, что в качестве материала приведения может быть выбран материал любого элемента оболочки или некоторый несуществующий фиктивный материал.

После выполнения приведения сечения к одному материалу можно перейти непосредственно к расчету нормальных напряжений.

Формула для нормальных напряжений

Осевая сила N во всех точках поперечного сечения оболочки вызовет одинаковые напряжения

	σz (z , s )=

где s – криволинейная координата, которая отсчитывается по контуру поперечного сечения оболочки от некоторой начальной точки (рис. 1.7);

F – площадь поперечного сечения оболочки.

Из дисциплины «Сопротивление материалов» известно, что при воздействии только изгибающего момента, например, M x нормальные напряжения можно определить по формуле

σz (z , s )=

где I x – момент инерции поперечного сечения оболочки относительно оси x (рис. 1.7);

y – ордината точки контура поперечного сечения оболочки, где вычисляются напряжения.

В случае сложного нагружения, когда в поперечном сечении оболочки действуют как осевая сила N , так и изгибающие моменты M x и M y , нормальные напряжения можно определить по формуле

	σz (z , s )=				y−

Геометрические характеристики сечения, входящие в выражения (1.27) – (1.29), вычисляются по следующим формулам

F = ∫ δ ds; I x = ∫ δ y2 ds; I y = ∫ δ x2 ds,

где δ – толщина обшивки.

1.2.3. Определение касательных напряжений Формула для потока касательных сил

В соответствии с принятыми выше допущениями при поперечном изгибе

и кручении оболочки в ее обшивке возникают касательные напряжения, направленные вдоль контура поперечного сечения оболочки и равномерно распределенные по толщине обшивки. В этом случае удобно пользоваться п о т о -

к о м к а с а т е л ь н ы х с и л

q =τ δ.

Выведем формулу для определения потока касательных сил.

Выделим из обшивки элемент с размерами dsdz (рис. 1.9а) и рассмотрим его равновесие при неизменной осевой силе (N = const) (рис. 1.9б).

σz δ

∂ q

∂ s

∂σz

σz δ+

δ dz

∂ z

Рис. 1.9. К рассмотрению равновесия элемента обшивки

Найдем проекции всех действующих на этот элемент сил на ось z

(σz +

∂σz

dz ) δ ds −σz δ ds +(q +

∂ q

ds) dz− q dz= 0.

∂ z

∂ s

После элементарных преобразований получим

∂σz

∂ q

∂ z

∂ s

Найдем из этого уравнения поток касательных сил q путем интегрирова-

ния по дуге контура s от произвольно взятой точки, в которой s = 0

∂σz

q (s , z )=−∫ 0

δ ds +q 0 (0, z ).

∂ z

где q 0 (0, z ) – значение потока касательных сил в точке начала отсчета (s = 0). Чтобы найти частную производную ∂σ ∂ z z , стоящую в подынтегральном

выражении в формуле (1.34), продифференцируем выражение для нормальных напряжений (1.29)

∂σz

∂ M x

∂ M y

∂ z

∂ z

∂ z

Из дисциплины «Сопротивление материалов» известно, что

∂ M x

Q y ;

∂ M y

=−Q x .

∂ z

∂ z

С учетом этого перепишем выражение (1.35)

∂σz

∂ z

17 Полученное выражение подставим в (1.34)

	q =−		∫ y δ ds−		∫ x δ ds+ q0 .
		I x 0		I y 0

Здесь интегралы представляют собой статические моменты отсеченной части контура (участка контура на дуге от 0 до s )

Sотс x (s)= ∫ y δ ds; Sотс y (s)= ∫ x δ ds.
Введем обозначения:								S отс
q Qx=−					; q Qy =−

где q Qx , q Qy – потоки касательных сил от действия поперечных сил Q x и Q y со-

ответственно.

Тогда выражение (1.38) можно переписать следующим образом:

q = q Qx + q Qy + q 0 . (1.41) Следует отметить, что знаки статических моментов S отс x и S отс y зависят от

знаков координат x и y , а также от принятого начала отсчета криволинейной координаты s . Знак потока касательных сил q Q определяется знаками попереч-

ных сил Q x , Q y и знаками статических моментов S отс x , S отс y . При этом положитель-

ный поток касательных сил q Q совпадает по направлению с направлением обхода контура. За положительное направление обхода контура обычно принимается направление против часовой стрелки.

После определения потока касательных сил q можно найти касательные напряжения, используя выражение (1.31)

τ=q .

Определение потока касательных сил в оболочках с открытым контуром поперечного сечения. Центр изгиба

Рассмотрим оболочку с открытым контуром поперечного сечения произвольной формы (1.10). Криволинейную координату s будем отсчитывать от свободного края оболочки (точка A ). Пусть осевая сила отсутствует (N = 0). Тогда край оболочки будет свободен от нагрузки, а это значит, что поток касательных сил в точке A будет равен 0, т.е. q 0 = 0. Следовательно, поток касательных сил q

в соответствии с формулой (1.41) будет определяться только потоками q Qx и q Qy

						S отс
q =q Q =q Qx +q Qy =−

Из полученного выражения следует, что поток касательных сил в сечении оболочки с открытым контуром поперечного сечения не зависит от величины крутящего момента M z . Это говорит о том, что в оболочках с открытым конту-

ром отсутствуют внутренние усилия, уравновешивающие крутящий момент.
Следовательно, такие оболочки не воспринимают крутящий момент и представ-
ляют собой в этом случае нагружения геометрически изменяемую систему.
				qQ ds
Рис. 1.10. К определению потока касательных сил в оболочках с открытым
	контуром поперечного сечения

Представляет интерес точка, через которую проходит равнодействующая потока касательных сил, действующих в сечении. Найдем ее координаты x * и y *. Для этого составим уравнения моментов относительно любой оси, параллельной оси z . Эта ось оставит в плоскости (x , y ) след в виде точки P(x P , y P ) , ко-

где ρ=ρ(s ) – расстояние от полюса до касательной в текущей точке контура, т.е. плечо элементарной касательной силы q Q ds (рис. 1.10).

			S отс
Поскольку q Qy =−				(формулы 1.40), то
		Q y (x * −x P )=−						∫ Sотс x ρ ds.
							I x (s)
			x * =−			∫ S x отс ρ ds+ xP .
					I x (s)

Для силы Q x аналогично получим

y * =−		∫ Sотс y ρ ds+ yP .
	I y (s)
Точка с координатами (x *, y *) называется ц е н т р о м			и з г и б а (ц.и.)

(рис. 1.10) или ц е н т р о м ж е с т к о с т и (ц.ж.). Как видно из формул (1.46) и (1.47), положение этой точки не зависит от действующих нагрузок и определяется только геометрическими характеристиками сечения. Совокупность центров изгиба сечений по длине оболочки образует о с ь и з г и б а или о с ь ж е с т к о с т и.

Если линия действия поперечной силы проходит через центр изгиба оболочки с открытым контуром, то оболочка будет испытывать только поперечный изгиб. При этом в ее обшивке будет возникать соответствующий поток касательных сил. Если же линия действия поперечной силы проходит не через центр изгиба рассматриваемой оболочки, то она дополнительно создает крутящий момент относительно центра изгиба. Данный момент, как было указано выше, теоретически не может быть воспринят оболочкой, поскольку соответствующий поток касательных сил в оболочке с открытым контуром не возникает. На практике это означает, что при таком приложении нагрузки оболочка скорее всего будет разрушена или, по крайней мере, получит недопустимые деформации.

Определение потока касательных сил в оболочках с однозамкнутым контуром поперечного сечения

Рассмотрим оболочку с однозамкнутым контуром поперечного сечения, нагруженную поперечными силами Q x , Q y и крутящим моментом M z (рис. 1.11).

Рис. 1.11. Нагружение оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения

Для определения потока касательных сил в оболочках данного типа используют следующий прием. Оболочка условно разрезается вдоль образующей

в произвольном месте поперечного сечения (рис. 1.12). Рассматриваемая оболочка превращается, таким образом, в оболочку с открытым контуром поперечного сечения. Место разреза служит началом отсчета статических моментов отсеченной части поперечного сечения (s = 0).

Рис. 1.12. Условное превращение оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения в оболочку с открытым контуром

Однако поскольку разрез был сделан условно, то считать, что q 0 = 0, как

было в предыдущем случае, нельзя. В общем случае q 0 должен быть отличен от нуля и иметь постоянное значение (q 0 = const). Поэтому полный поток касатель-

Поток касательных сил q Q можно определить как для открытого контура по формуле (1.43), а для определения потока касательных сил q 0 необходимо составить уравнение моментов относительно произвольно выбранного полюса P с координатами (x P , y P ) (рис. 1.13).

Уравнение крутящего момента в данном случае будет иметь вид

	M кр = M z − Q y (xP − xQ )+ Qx (yP − yQ )= qρ ds.
	Из уравнения (1.48) с учетом того, что q 0 = const, следует
	q ρ ds= qQ ρ ds+ q0 ρ ds.
	Из уравнений (1.49) и (1.50) получим
				M кр		qQ ρ ds
			ρ ds			ρ ds

Интеграл ρ ds имеет следующий геометрический смысл. Из рис. 1.13

видно, что подынтегральное выражение ρ P , y P )

x Q Q y

Рис. 1.13. К определению потока касательных сил q 0 в оболочке с однозамкнутым контуром поперечного сечения

ω= 1 2 ρds

Рис. 1.14. К определению площади контура поперечного сечения оболочки

С учетом этого перепишем формулу (1.51)
q0 =	M кр				qQ ρ ds
Если в поперечном сечении оболочки действует только крутящий момент
M кр = M z , то
						2 ω

Эта формула называется ф о р м у л о й Б р е д т а.

Таким образом, оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения воспринимают произвольно приложенные поперечные силы Q x и Q y , а так-

же крутящий момент M z . Возникающие при этом напряжения определяются, как показано выше, только из уравнений равновесия, поэтому оболочки с однозамкнутым контуром поперечного сечения являются статически определимыми.

Определение потока касательных сил в оболочках с многозамкнутым контуром поперечного сечения

В качестве примера оболочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения можно привести крыло современного самолета транспортной категории, имеющее, как правило, несколько лонжеронов и продольных стенок.

Рассмотрим оболочку с n раз замкнутым контуром поперечного сечения, нагруженную поперечными силами Q x , Q y и крутящим моментом M z (рис. 1.15).

	2 ... i ... n

Рис. 1.15. Нагружение оболочки с многозамкнутым контуром поперечного сечения

Чтобы решить задачу отыскания потока касательных сил q в оболочке с n раз замкнутым контуром поперечного сечения, необходимо сначала превратить рассматриваемую оболочку в оболочку с открытым контуром, разрезав каждый из n контуров. При этом необходимо приложить n неизвестных потоков касательных сил q 0 i (рис. 1.16), поскольку как и в случае с однозамкнутым контуром разрезы делаются условно.

Составим уравнение моментов относительно произвольно выбранного полюса P (x P , y P ):

∑ q 0 i 2 ω i+ q Q ρ ds = M z− Q y (x P− x Q)+ Q x (y P− y Q) .

i= 1

Данное уравнение содержит n неизвестных потоков q 0 i . Таким образом, данная задача является (n – 1) раз статически неопределимой. Для ее решения необходимо использовать условие совместности деформаций.

				P (x P , y P )
			q0 i		q0 n
Рис. 1.16. К определению потоков касательных сил q 0 i в оболочке
с многозамкнутым контуром поперечного сечения

Таким условием служит равенство углов поворота каждого i -го контура оболочки и угла поворота всего сечения в целом

θ 1 =θ 2 = ...=θ i = ...=θ n =θ . (1.56)

Это условие вытекает из принятого выше допущения о недеформируемости контура поперечного сечения оболочки в своей плоскости.

Основываясь на выражении для потенциальной энергии деформации, полученном в части I настоящего учебного пособия, запишем формулу, описывающую распределенную дополнительную потенциальную энергию деформации, т.е. энергию, соответствующую единице длины оболочки, для некоторого i -го контура многозамкнутого сечения

				δ ds =
В соответствии с формулой Бредта (1.54) запишем выражение для крутя-
щего момента, создаваемого потоком касательных сил q 0 i в i -м контуре
			M i= 2 q 0 i ω i.

В соответствии с теоремой Кастильяно, приведенной в части I настоящего учебного пособия, которая гласит, что частная производная от дополнительной потенциальной энергии по силовому фактору равна перемещению по направлению этого силового фактора, запишем выражение для угла закручивания i -го контура

	∂ U i
θi =	∂ M i .

Выполним преобразования с учетом того, что q 0 i = M i (формула (1.58)) 2ω i

Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. Выбор формы детали, узла или сооружения определяется многими факторами: их назначением, условиями работы, технологией изготовления, стоимостью, а также методами расчета. Одним из самых распространенных типов современных и перспективных конструкций являются тонкостенные оболочки. Тонкие пластины и оболочки находят исключительно широкое применение в конструкции самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надежных совершенных конструкций непосредственно зависит от уровня развития теории тонких пластин и оболочек.

Тонкая оболочка может быть определена как тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Таким образом, для оболочечных конструкций характерна тонкостенность .

К оболочкам относятся, в частности, тонкостенные пространственные системы, очерченные по криволинейным поверхностям. Оболочки способны выдерживать разнообразные виды нагрузок и обеспечивать изоляцию от окружающей среды. Им можно придать обтекаемую форму и на их основе получить относительно легкие конструкции, что имеет огромное значение в авиакосмической промышленности

Снижение материалоемкости конструкции - важный фактор для многих машин и агрегатов. Выгодно это и в строительных сооружениях. Оболочки позволяют эффективно решать проблему минимизации массы.

В настоящее время оболочки можно видеть повсюду. Высотные здания и телебашни, спортивно-концертные комплексы, крытые стадионы и рынки, цистерны и резервуары, трубопроводы и градирни, самолеты и ракеты, надводные и подводные корабли, автомобили в существенной части состоят из оболочек. Транспортные конструкции характеризуются не только возможностью достижения высоких скоростей, аэродинамическим совершенством форм, грузоподъемностью. Они воплощают также идеи оптимальности, экономичности, весового совершенства.

Оболочки как элементы конструкций известны давно. Это и паровой котел, и водопровод в древнем Риме. С давних времен известны емкости для хранения жидкостей и зерна, криволинейные своды перекрытий в строительстве. Но решающую роль в самых различных областях современной техники оболочки стали играть последние несколько десятилетий.

Термин "оболочка" относится к числу перегруженных и в него можно вкладывать разный смысл. Далее под оболочками понимаются конструкции, способные выполнять силовые, эксплуатационные, технологические, архитектурные и эстетические функции.

При математическом моделировании с понятием оболочки в первую очередь связывается представление о геометрической поверхности . В механике деформируемого твердого тела и строительной механике классификация объектов (тел) основана на особенностях их формы и соотношении характерных размеров.

Принято различать и выделять элементы конструкций, один размер которых намного больше двух других. Это стержни, кольца, арки. Тела, у которых один размер намного меньше остальных, образуют класс оболочек и пластин.

Основная проблема теории тонких упругих оболочек состоит в сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной задачи. Таким образом, развитие общей теории тонких упругих пластин и оболочек идет по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С.А. Амбарцумяна могут быть объединены в три группы: метод гипотез, метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки и асимптотический метод. Все эти методы интенсивно развиваются, дополняя друг друга.

Список обозначений

a 1 , a 2 - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности S o оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a 1 ─ продольная, a 2 -окружная координаты; z ─ координата по нормали

к S;

А 1 , А 2 -коэффициенты Лямэ; k 1 , k 2 -главные кривизны;

U, V, W- компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки;

u, v, w- компоненты вектора перемещений точек поверхности S o ;

q 1 , q 2 - углы поворота нормали

;

e jk - компоненты тензора деформаций;

E 11 , E 22 , E 12 - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a 1 и a 2 и сдвиг;

K 11 , K 22 , K 12 - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение;

T 11 , T 22 , S- тангенциальные внутренние усилия, приведенные к S o: усилия растяжения-сжатия и сдвига;

M 11 , M 22 , H- изгибающие и крутящий моменты;

Q 11 , Q 22 - перерезывающие силы;

q 1 , q 2 , q 3 - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S;

E, n- модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки;

y j -унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

f j - операторы правых частей канонических систем ОДУ;

Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем

h- толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной.

Обозначим через R 1 , R 2 - главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки S. R=min {R 1 , R 2 }.

Основным геометрическим параметром оболочки является параметр тонкостенности или относительная толщина, определяемый отношением e=h/R.

Принята достаточно условная классификация оболочек по ее толщине на тонкие, средней длины и толстые оболочки.

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S + и S - называется ее срединной поверхностью.

Криволинейные, ортогональные системы координат

Правило дифференцирования базисных векторов криволинейной ортогональной системы координат определяется следующим образом:

e s,t = - (H t,s /H s) e t - d st ÑH t

Ñ = e m (…), m / H m

Здесь H m - параметры Ляме координатной системы, имеющие вид

= (r , i) 2 ; Hi = ½ r , i ½ .

Здесь r , I - радиус - вектор произвольной точки тела оболочки. В частности:

e 1,1 = (H 1,1 /H 1) e 1 - (H 1,1 /H 1) e 1 - (H 1,2/ H 2) e 2 - (H 1,3 /H 3) e 3

e 1,2 = (H 2,1 /H 1) e 2 ; e 3,2 = (H 2,3 /H 3) e 2 ; H i (a 1 , a 2 , a 3)

Запишем условие совместности, которое в принятых обозначениях имеет вид:

(e 1,1), 2 = (e 1,2), 1

(e 1,2), 1 = ((H 2,1 /H 1) e 2), 1 = (H 2,1/ H 1), 1 e 2 + (H 2,1 /H 1) (H 1,2 /H 2) e 1 ;

(e 1,1), 2 = - [ (H 1,2/ H 2) e 2 + (H 1,3/ H 3) e 3 ], 2 =

= - (H 1,2 /H 2), 2 e 2 + (H 1,2 /H 2) ((H 2,1 /H 1) e 1 + (H 2,3 /H 3) e 3) -

(H 1,3 /H 3), 2 e 3 - (H 1,3 /H 3) (H 2,3 /H 3) e 2

Тогда, приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим.

Теория расчета тонких оболочек вращения

При проектировании стальных оболочек возникает много общих конструктивных и расчетных вопросов, не зависящих от специфичности технологического назначения оболочек. Рассмотрим поэтому теорию расчета оболочек вне зависимости от их технологического назначения.

Поверхность оболочки вращения имеет ось симметрии и два радиуса кривизны, перпендикулярных поверхности: R 1 — меридиональный радиус, образующий кривую вращения, и R 2 — кольцевой радиус вращения, имеющий начало на оси симметрии. Углы φ (широта) и а (долгота) соответственно характеризуют местоположение радиусов.

Шаровая поверхность характеризуется соотношением R 1 = R 2 ; цилиндр — соотношениями R 1 = ∞, R 2 = r и φ = n/2; конус соотношениями = R 1 = ∞, R 2 sin φ = r и φ = const (постоянный угол).

Рассмотрим вырезанный элемент оболочки (удаленный от краев) толщиной δ со сторонами dS 1 и dS 2 , на площадь которого действует равномерно распределенная нагрузка р. Оказывается, что в тонких оболочках, которые характеризуются малым отношением толщины оболочки к ее радиусу (δ/R < 1/30) условия равновесия могут быть соблюдены при наличии только осевых сил — меридиональных Т 1 и кольцевых T 2 , направленных по касательной к срединной поверхности оболочки. Эти силы представляют собой равнодействующие нормальных напряжений, приложенных к сторонам элемента

Возьмем сумму проекций всех сил по направлению радиуса кривизны.

По условию равновесия эта сумма должна равняться нулю:

Так как при малых углах

то, разделив обе части уравнения на dS 1 dS 2 получим:

Выразив и T 2 через напряжения, получим основное уравнение тонких гибких оболочек

σ 2 — кольцевое напряжение.

Для цилиндрической оболочки, у которой R 1 = ∞, получим кольцевые напряжения

Для шаровой оболочки, у которой радиус во всех направлениях один и тот же (R 1 = R 2 = R), условия работы каждого элемента также во всех направлениях одинаковы и, следовательно:

Таким образом, при одинаковом радиусе шаровая оболочка испытывает в 2 раза меньшее напряжение, чем цилиндрическая.

Общее уравнение (2.Х) содержит два неизвестных σ 1 и σ 2 , вследствие чего необходимо иметь второе уравнение. Это уравнение можно получить, рассматривая сечение оболочки по параллельному кругу и приравнивая нулю сумму проекций всех сил на ось симметрии:

Подставляя равенство (5.Х) в уравнение (2.Х), устанавливаем соотношение между кольцевыми и меридиональными напряжениями

Полученные уравнения тонких оболочек, выведенные из условий равновесия при наличии лишь осевых сил (меридиональных и кольцевых усилий), предполагают, что оболочка совершенно гибкая, т. е. что жесткость ее в отношении изгиба и кручения равна нулю.

Напряжения в такой безмоментной оболочке равномерно распределены по сечению; имеется также свобода осевой деформации. Такие предпосылки работы оболочки справедливы для участков ее, расположенных вдали от опорных закреплений или мест перегибов, т. е. от мест, где прерывно меняется центр радиуса кривизньи R 1 или меняется толщина оболочки, словом, от всех тех мест, где меняются условия для осевой деформации.

В этих местах появляются распорные силы и «краевые» изгибающие моменты, вызывающие изгиб оболочки вследствие стеснения деформаций в условиях неразрывности сечения. Изгибающие моменты распространяются на сравнительно узкую зону оболочки, быстро затухая вследствие того, что деформациям оболочки приходится преодолевать упругое сопротивление соседних частей (аналогично на упругом основании).

Определение этих моментов и поперечных сил из условия неразрывности сечения сопрягаемых оболочек представляет собой дважды статически неопределимую задачу 1 .

Чем резче нарушение гладкой поверхности оболочки, тем больше дополнительные изгибающие моменты и поперечные силы. Поэтому при конструировании следует избегать резких перегибов в местах сопряжения оболочек. В вынужденных по конструктивным соображениям случаях таких соединений сопряжения следует подвергать проверке и в случае необходимости усилить. Обычно усиление заключается в утолщении стенки листа в месте перегиба или в постановке распорного кольца.

1 С. П. Тимошенко, Пластинки и оболочки, Гостехиздат, 1948; Е. Н, Лессиг, А. Ф. Лилеев, А. Г. Соколов, Стальные листовые конструкции, Госстройиздат, 1956; К. К. Муханов, Прикладные методы расчета сопряжений оболочек стальных конструкций, сборник трудов № 7 МИСИ, Госстройиздат, 1950.

Изложение общей моментной теории оболочек можно найти в книге А. И. Лурье, Статика тонкостенных упругих оболочек, Гостехиздат, 1947.

«Проектирование стальных конструкций»,
К.К.Муханов